Pron tes-kustannuslaskennan datamatematiikka

Vuodesta 2021-

Laskennan kantava idea

Matemaattisesti "staattisessa" ansiokertymässä tai palkanmuodostuksessa on kyse erilaisten tes-ehtojen muodostamien korvauspinta-alojen laskemisesta tietylle aikajaksolle. Pinta-aloja yleisesti lasketaan intergroimalla (intergrointi tarkoittaa summaamista). Kustannushajotelma tarkoittaa yksittäisten tes-tekijöiden kontribuutiota (osuutta) koko ansiosummassa (vertaa asunnon koko pinta-ala vs. yksittäiset huoneet). Kustannusvaikutusten muutosanalyysi on tietynlaista differentiaalilaskentaa, tes-ehdoissa, niiden yleisyydessä jäsenkunnassa ja/tai korvausasteissa tapahtuvien parametrien muutosten vaikutusten arviointilaskentaa. Nk. dynaamiset vaikutukset kuuluvat tähän laskentatyyppiin. Differentiaalilaskentaan liittyy derivoinnin ja esim. "korkoa korolle" käsitteet.

Käytännön ongelmatiikka on tes-taustadatan saatavuus, etenkin tarkemmat tilastojakaumat . Parhaimmillaan tes-laskennassa käytettävä data olisi yksilötasoista ajallista hr-dataa, jota voidaan aggredoida (tarkoittaa myös summaamista, keskiarvoistamista jne.) sopivalla tavalla koko organisaation, alan jne. tasolle. Mikäli yksilötason hr-data olisi saatavissa, niin laskenta ja mallinnus tehtäisiin suoraan raakadataan (big data...). Pron tes-kustannuslaskennan taustadata pohjautuu Pron työmarkkinatutkimukseen, tes-relevantteja jakaumatietoja (sovellus) , mutta sitä voidaan täydentää vaikka firmojen hr-datalla ja muilla tes-muuttujakyselyillä. Pron TMT-data (2009-) antaa Pron edunvalvonnalle uniikin mahdollisuuden tehdä joustavaa tes-laskentaa, myös rakentaa "vaihtoehtoisia" tessejä. Pron TMT-data toki sisältää paljon hyvinvointia ja tuottavuutta koskevaa työoloinformaatiota, mikä kaikki on tarpeen hyvien tes-tavoitteiden arvioinnissa, ks. Pron tutkimussovellusten portaali.

Tämä dokumentti ei ole matematiikan opetuskirja, vaan "dataekonomistinen" kuvaus tes-laskennan piirteistä. Tes-laskennassa tarvitaan matemaattisia funktioita, integrointia, derivointia, korkolaskentaa, joukko-oppia ja logiikkaa (tes-säännöt ovat loogisia lauseita). Lisäksi "tes-geometriaa" on syytä kehittää, visualisoimalla tes-laskentaa mahdollisimman paljon. Konkreettinen esimerkki tes-laskennasta on simulaatio hypoteettisellä tessillä yhdistettynä Pron sopimusalojen TMT-dataan (vie tämän raportin loppupuolelle).

Käsitteet

Tes-laskenta on datamatemaattista, laskentakehikkoon liittyy tiettyjä matemaattisia merkintöjä:

Pieni tehtävä: Arvioi/laske oman tessisi m-luku, eli kuinka monta kpl erillistä tes-korvausehtoa tessisi sisältää? Vertaa m-lukua muiden tessien m-lukuihin.

Aikayksikön tai -jakson valinta

Kustannuslaskennan kannalta järkevin aikaperiodi on 1 vuosi, sen aikana myös ainakin teoriassa tapahtuvat tes-sääntöjen kannalta relevantit asiat (ml. sairauspäivät, lomat,...). Kustannuslaskennnan ansiomitassa haetaan lukua "keskimääräinen kuukausiansio ao. vuoden aikana". Erityyppiset aikayksiköt (h/vrk, pv/vko, h/kk, pv/v, ...) muunnetaan tyypillisesti tuntia vuosi tai keskimäärin tuntia kuukaudessa ajatteluun, mikä tarkoittaa joukkoa erilaisia muunnoskertoimia.

Kustannuslaskennan idea "paperilla"

Tietyn tes-tekijän korvaus/kustannus euroina

Peruspalkka on muodostuu tekijöistä Z

W0 = W0(Z) , jossa Z on joukko erilaisia yksilötason tehtävään, suoriutumiseen ja organisaatioon,... liittyviä ansiotekijöitä.

Korvausfunktion muoto

Yleisesti korvausfunktio K(X) voi olla mitä tahansa, vakio, portaittain nouseva tai laskeva, epälineaarinen,... . Tyypillisin tapaus lienee (paloittain) vakio tietyssä aikaulottuvuudessa, esim. sunnuntaityössä K=1 (100 %), lauantaityössä K=0.5 (50%) ja mape-työssä K=0 (0%).

Kuva: \(e^{ax} \) eksponenttifunktion muoto parametrin \(a\) eri arvoilla.

Tes-korvauskaava I

Alla oleva kaava tuottaa tietyssä työajan kokonaiskestossa T ansiosumman, joka muodostuu nollapalkasta \(W_{0}\) ja tes-korvaustekijöistä \(X_{i}\), niihin käytetystä ajasta \(T_{i}\) sekä muista tekijöistä \(Z\).

$$ W(\mathbf{X},\mathbf{T},\mathbf{Z},A) = [1+ \frac{1}{T} \sum\limits_{i=1}^{m} \int\limits_{0}^{T_{i}} K(X_{i}) \mathrm dX_{i} ] \times W_{0}(\mathbf{Z}) \cdot (1+A) $$

Tes-ehdot ja niihin liittyvät ajanmäärät sekä muut tekijät ovat vektoreita (käsittävät useita tekijöitä). Samanmuotoiset vektorit muodostavat matriiseja, kuten Pron tesExcel osoittaa. Esimerkiksi tes-ehtojen vaikutuksen alla olevat työaikaosien pituudet muodostaa vektorin \(T = [T_{1}\ T_{2}\ ... \ T_{m} \), eli vektori kokoaa kaikki m kpl erillisiä tes-ehtoja aikakestoineen \(T_{i} \in [0, ] \).

Miten tes-korvauskaavaa I luetaan?

Kokonaisansion pohjakertoimena on "nollapalkka", jota korotetaan m kpl tes-ehtoja näiden ehtojen suhteellisen (aika)määrien ja korvauskertoimien mukaan. Jos mikään mitään tes-korvauksen tes-tekijää ei käytetä tällöin "summaintegraafihässäkän" arvo on 0 ja kaavasta jäljelle jää vain peruspalkka \(W_{0}(Z)\).

Jos taas jotain tes-tekijää käytetään (eli X>0), niin siihen liittyvää "korvauspinta-alaa" summataan integraalimerkinnän mukaisesti nollasta tunnista aina pisteeseen \(T_{i}\) (h/aikayksikkö). Jos korvaus on vakio, niin integraalilaskentaa ei tarvita, pinta-ala voidaan laskea suorakaiteen avulla. Korvauskaavassa I on oletettu, että yksittäinen tes-ehto ei riipu muista tes-ehdoista. Ns. interaktiovaikutukset voidaan ratkaista eri tavoin, mutta ne aina mutkistavat lisää kaavaa (datan saamista).

Esimerkki tes-korvauskaavan I käytöstä

Tutkitaan yhden tes-tekijän, olk. lauantaityön aikaansaamaa korvausta yhden kuukauden aikana. Merkinnät ja parametrit:

Laskentakaava I "yksinkertaistuu" yhden tes-tekijän muotoon: $$ W(X_{LATYO}=1,W_{0}(\mathbf{Z})=3300 ,T=160, T_{LATYO}=12) = [1+ \frac{1}{172} \int\limits_{0}^{12} 0.5\ \mathrm dX_{LATYO} ] \times 3300 $$ Kun suoritetaan yo. integrointi la-työn suhteen, niin päästään muotoon ja ansiokertymään $$ = [1 + \frac{1}{172}\bigg/_{\!\!\! 0}^{\,12} 0.5\ X_{LATYO} ] \times 3300 = [1+ \frac{1}{172} \{ (12 \cdot 0.5 ) - (0 \cdot 0.5) \} ] \cdot 3300 $$ $$ = [1+ \frac{1}{172} \cdot 6 ] \cdot 3300 = 3415 \ (e/kk) $$ Prosentuaalisesti lauantaityön kustannuslisä (logaritmilla laskettuna) on: $$ \log(\frac{W}{W_{0}}) = \log(\frac{3415}{3300}) =\ 0.034 \ (3.4 \%) $$

Oheisessa tilanteessa, kun korvausfunktio on vakioinen, niin integrointia tietenkään tarvita, mutta hankalammat funktiomuodot voivat vaatia integrointia. Esimerkki: X = työkuukauden pituus (h/kk). Olkoon tuntipalkka = 20 e/h alle 160 h/kk työajalta ja 160 h/kk jälkeen tuntikorvaus kasvaa ylityötuntien mukaan eksponentiaalisesti toisen asteen polynomifunktiolla K(X) = (20+X^(2))/X (e/h) (huom. perustyöaikana tuntipalkka 20*X/20=20 e/h eli vakio). Huom. x^(2) = x*x ("x potenssiin kaksi", "x toiseen potenssiin").


Esim.
 tuntikorvaus 5  ylityötunnin kohdalla on 20+(5^(2))/5=25    (e/h) ja
 tuntikorvaus 10 ylityötunnin kohdalla on 20+(10^(2))/10=30  (e/h) ja
 tuntikorvaus 20 ylityötunnin kohdalla on 20+(20^(2))/20=40  (e/h) ja
 tuntikorvaus 30 ylityötunnin kohdalla on 20+(30^(2))/30=60  (e/h)
Tuntikorvaus kasvaa siis tehtyjen ylityötuntien mukaan. Jos halutaan laskea, paljonko ylityökustannus on esim. ylityötuntien 20 ja 28 välillä, niin vastaus saadaan kaavasta I integroimalla ko. polynomimuotoinen korvausfunktio. Integraalissa "aikamatka" olisi \( \int\limits_{20}^{28} \) jne.

Oheisessa esimerkissä siirryttiin korvauskertoimista (K=0.1,0.5,..) eurolisiin, mutta sama eksponentiaalisen korvauksen kuvio olisi voitu tehdä myös suhteellisilla korvauskertoimilla. Asiat voidaan laskea euroissa, mutta kuten kustannuslaskennassa helpompaa on käyttää (rahayksikkövapaita) korvauskertoimia.

Pohdintoja tes-kaavasta I

Yksi hieman hämärä osa on X:n ja T:n välinen suhde, siis esimerkiksi iltatyön \(X_{ILTATYO}\) ja sen ajallinen määrä \(T_{ILTATYO}\). Näiden suhde tulee paremmin ymmärretyksi katsottaessa määrättyä integraalia sen standardeimmassa esitysmuodossa: $$ I(x) = \int\limits_{a}^{b} f(x)\ \mathrm dx $$

Yllä olevaa funktiota \(f(x)\) integroidaan välillä \(x \in [a,b] \), a ja b ovat siis tes-laskennassa alku- ja loppuajat. Tarkalla hr-datalla käytäisiin jokainen esim. kuukauden tunti 30*24=720 h/kk läpi ja katsottaisiin, minkälaista työtä tietyllä päivämäärällä ja kellonaikavälillä (esim. "2021-08-27 19:00-20:00") on tehty (tai ei tehty lainkaan). Integraalimerkinnässä kaikkien tes-muuttujien aikarajat olisivat a=0 b=720, mutta funktio f(x) kertoisi jollain tavalla, onko esim. kyseessä ilta-aikaan tehty työ (ja yksi tai useampi korvaussääntö aktivoituisi) .

Parhaimmillaan saamme hr-datasta vain esim. kuukausisummia tai muita yhteenvetoja, ei tuntikohtaista seurantaa. Tuntikohtaisen seurannan rekonstruointi dataksi olisi hyvin vaikea, raskas ja epäluotettava (simulaatio). Tämän takia integraalissa aikarajat on tyyppiä \([0,T_{i}]\) , joka useimmiten voisi vaan korvata T*K, esim. 20 h x korvaustasoa 5 e/h (sama korvauskertoimilla). Integraalimerkintä kuitenkin tuo laskentamalleihin joustavuutta (esim. epälineaariset kustannuskertoimet). ja ajan laskenta erottuu m kpl tessien summaoperaattorista \( \sum \).

Yksi mutkistus on useamman tes-ehdon samanaikainen "ON-tila", esim. lauantaityö & ylityö. Nämä voitaisiin hoitaa funktiomuodossa f(x) siten, että siihen lisättäisiin inteaktiotermejä tyyliin y = a + b*x1 + c*x2 + d*x1*x2 , eli x1 ja x2 sattuessa yhtä aikaa niillä on lisäkerroin d. Em. kaava kutsutaan pää- ja yhdysvaikutusten yhtälöksi. Tes-laskennan kannalta helpoin tapa on tehdä erillisiä ehtolauseita X(latyö & ylityö) tms. ja huolehtia eri tavoin siitä, ettei koko kustannuslaskennan kannalta tule päällekkäistä laskentaa.

TMT-data ja tes-säännöt

Kalibrointia, simulointia, harvinaiset tapaukset, ...

Mennään laskentamasiinan puolelle...

Simulaatio - yksi tes (teoreettinen korvausrakenne) ja usean sopimusalan TMT-data

Alla on tulos Pron datalla tehdystä simulaatiosta, jossa Pron aloilla ja koko Prolle on määritelty yksi ja sama tes-korvausrakenne. Ajatuksena on analysoida, miten sama korvausrakenne vaikuttaa Pron eri aloilla, joissa työaika- ym. jakaumat ovat erilaisia. Data on peräisin Pron työmarkkinatutkimuksesta (TMT, ks. Pron tes-taustadatojen aikasarjat ja jakaumat sopimusaloittain). Simulaation korvausrakenteessa tes-ehtoja ovat: palvelusvuosi, työaikamuodot (osa-aika, 37.5h,40h, muu) ja niihin liittyvät lisä- ja ylityöt, työnteon ajoitus (la,su, ilta, yö), vuorotyö, työssä matkustaminen (kotimaa, ulkomaa), sairausajan palkka, lomaraha ja spesiaalina asiakaspalvelutyön lisäkorvaus.

Simulaation tes-korvausrakenne on varsin yksinkertainen. Rakenteessa ei ole monimutkaisia tes-ehtojen kombinaatioita, vaan yksittäisiä tes-kategorioita "kerrostetaan" korvauskertoimien avulla. Korvauskertoimissa k=0 tarkoittaa, ettei ole lisäkorvausta suhteessa perustyön mukaiseen peruspalkkaan. Perustyöllä tarkoitetaan työtä, joka on työajallisesti ja -kuvallisesti on mahdollisimman yksinkertaista, ma-pe & 8-16 tyyppistä työtä. Taustalla kullakin sopimusalalla on jokin peruspalkan tilastollinen keskitaso. Alakohtaiset euromääräiset lähtötasot ovat simulaatiossa normeerattu kustannustasoksi nolla (0). Tes-kustannusten %-kertymän lopputulos (yli tes-ehtojen) antaa arvion, kuinka paljon valittu hypoteettinen tes-korvausrakenne lisäisi alan keskiansioita suhteessa perustyö(aja)n palkkaan.

Tes-simulaatio pääsektoreiden suurimmille sopimusaloille

Suorat linkit yo. kuviin:

Tes-simulaatio pienemmille sopimusaloille

Suorat linkit yo. kuviin:

Tes-laskennan motivaatio

Miksi tes-kustannuslaskenta olisi hyödyllistä Pron jäsenille? Kokonaishyvinvoinnin selitysanalyysit -tilastollisten mallien raportissa Pron jäsenten työhyvinvoinnin, palkkauksen ja työaikojen vaihtelua ja tasoa selitetään joukolla Pron jäsenten työtä ja muita taustoja kuvaavilla muuttujilla.









Testailuja. suttua...

When \(a \ne 0\), there are two solutions to \(ax^2 + bx + c = 0\) and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$ \( \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1 \)

Linkit